Les Variétés Sur Le Corps À Un Élément

Une fantaisie récurrente de plusieurs mathématiciens ([22], [14], [19], [11], . . .) est l’existence d’un “corps à un élément”, noté F1, et d’une géométrie algébrique sur ce corps. On pense par exemple que le groupe des points de SLN dans F1 est le groupe symétrique des permutations de N lettres, et que ces N lettres sont les points dans F1 de l’espace projectif P N . Et l’on s’est aperçu depuis longtemps que des formules connues pour les points d’un groupe de Chevalley dans le corps fini Fq, q > 1, donnent par la spécialisation q = 1 des formules vraies pour le groupe de Weyl correspondant. Par ailleurs, l’analogie entre corps de nombres et corps de fonctions incite à chercher un corps de base pour la courbe affine Spec(Z). Enfin, il y a un intérêt croissant en géométrie arithmétique pour les variétés algébriques sur Z issues de constructions combinatoires sur les ensembles finis. Le but de cet article est de proposer une définition des variétés sur F1. Pour ce faire, on part de l’idée qu’une variété X (de type fini) sur F1 doit avoir une extension des scalaires à Z, qui sera un schéma XZ de type fini sur Z. Les points de X (dans un anneau ad hoc) sont alors une partie, qu’on supposera finie, de l’ensemble des points de XZ. Par exemple, l’ensemble des points du groupe multiplicatif Gm sur F1 dans un anneau R fini et plat sur Z est l’ensemble (fini) des racines de l’unité contenues dans R. La variété XZ doit être entièrement déterminée par X (à isomorphisme unique près). Autrement dit, les variétés sur Z obtenues par extension des scalaires de F1 à Z possèdent une description “combinatoire finie”. Notre résultat principal (Théorème 1) est que les variétés toriques lisses peuvent être définies sur F1. Un autre exemple, inspiré de la théorie d’Arakelov, consiste à associer à tout réseau Λ ≃ Z muni d’une norme hermitienne sur Λ ⊗ Z C une